Steiner 圆系知多少(On Steiner Chain


摘要:本文介绍Steiner圆的一些性质。

给定平面上一对内离圆 $$O_1(r_1)$$ 与 $$O_2(r_2)$$,其中圆 $$O_2(r_2)$$ 位于圆 $$O_1(r_1)$$的内部。

若 $$\{C_k\}_{k=1}^n$$ 是满足下述四个条件的有限多个圆,则 $$\{C_k\}_{k=1}^n$$ 称为是与内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 相切的一组Steiner 圆系  ( Steiner chain ):

$$(1)$$ 每个圆 $$C_k$$ 都与圆 $$O_1(r_1)$$ 内切、每个圆 $$C_k$$ 又都与圆 $$O_2(r_2)$$ 外切

$$(2)$$ 对每个 $$k\in\mathbb{N}$$,$$1\le k\le n-1$$,圆 $$C_{k+1}$$ 与圆 $$C_k$$ 外切

$$(3)$$ 圆 $$C_{n}$$ 又与圆 $$C_1$$ 外切

$$(4)$$ 除了 $$(2)$$ 与 $$(3)$$ 所提的切点外,$$\{C_k\}^{n}_{k=1}$$ 中的任何两圆都没有其它交点。

显然地,每一组 Steiner 圆系中至少含三个圆。

Steiner 圆系知多少(On Steiner Chain

图一

图一中的两图都是与一对同心圆相切的一组 Steiner 圆系,左图含五个圆,右图含六个圆。在两图中,两对同心圆中的大圆半径相等,但小圆的半径显然不等,右图的小圆较大。这为什幺呢?下面的性质1 可以给出答案。

性质1:若两同心圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 间有一组与它们相切的 Steiner 圆系共含 $$n$$ 个圆 $$(n\geq 3)$$,且 $$r_1>r_2$$,则两半径 $$r_1$$、$$r_2$$ 与圆的个数 $$n$$ 满足下述关係式:

$$\displaystyle\sin\frac{\pi}{n}=\frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}$$ 或 $$\displaystyle(1+\sin\frac{\pi}{n})(1+\frac{r_2}{r_1})=2$$

因为在此 Steiner 圆系中,每一圆的半径都等于 $$(r_1-r_2)/2$$、每一圆的圆心与同心圆圆心 $$O$$ 的距离都等于 $$(r_1+r_2)/2$$、两相切圆的圆心对同心圆圆心 $$O$$ 所张的角都等于 $$(2\pi)/n$$。特例:当 $$n=6$$ 时,Steiner 圆系中每个圆都与同心圆中的小圆半径相等。

上述性质1 指出有关Steiner 圆系的一个现象,那就是:并不是每一对同心圆间都有与它们相切的Steiner 圆系。例如:当 $$r_1=9r_2$$ 时,满足 $$\sin(\pi/n)=8/10$$ 的 $$n$$ 不是正整数,因为 $$\sin(\pi/4)<8/10<\sin(\pi/3)$$。

对每个大于 $$2$$ 的整数 $$n$$,都存在有正数 $$r_1$$、$$r_2$$ 使得性质1 中的等式成立。换句话说,对每个大于 $$2$$ 的整数 $$n$$,都存在适当的两同心圆使得它们之间有一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系。

但就以直尺圆规作图的可行性而言,在大于 $$2$$ 的整数 $$n$$ 中,与两同心圆相切且共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系,并不是都可以利用直尺圆规作图。因为在此种共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系中,所有圆的圆心构成一个正 $$n$$ 边形的 $$n$$ 个顶点,所以,当此种共含 $$n$$ 个圆的 Steiner 圆系可以利用直尺圆规作图时,就表示该正 $$n$$ 边形可以利用直尺圆规作图。

根据高斯的定理,对大于 $$2$$ 的整数 $$n$$,正 $$n$$ 边形可以利用直尺圆规作图的充要条件是:

$$n=2^kp_1p_2\cdots p_r$$,
其中,$$p_1$$、$$p_2$$、$$\cdots$$、$$p_r$$ 是相异的 $$\mathrm{Fermat}$$ 质数,而 $$k$$ 是非负整数。

所谓 $$\mathrm{Fermat}$$ 质数,乃是指形如 $$2^{2^p}+1$$。目前已知的 $$\mathrm{Fermat}$$ 质数,只有 $$3$$、$$5$$、$$17$$、$$257$$、$$65537$$ 等五个。

所以,满足 $$3\leq n\leq 100$$ 且正 $$n$$ 边形可以利用直尺圆规作图的正整数 $$n$$ 只有下列 $$24$$ 个:

$$3$$,$$4$$,$$5$$,$$6$$,$$8$$,$$10$$,$$12$$,$$15$$,$$16$$,$$17$$,$$20$$,$$24$$,
$$30$$,$$32$$,$$34$$,$$40$$,$$48$$,$$51$$,$$60$$,$$64$$,$$68$$,$$80$$,$$85$$,$$96$$

至于与一般的内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 相切的 Steiner 圆系,可以整理成下面三个性质。

性质2:两内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 间有一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的 Steiner 圆系的充要条件是:

存在两同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$,使得同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 间有一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的 Steiner 圆系而且内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 是同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 对某个反演变换  (inversion)  的反演像。

当此充要条件成立时,内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 间的每一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系,都是同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 间的某一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的 Steiner 圆系对前述同一个反演变换的反演像。

当两内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 间有一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系时,根据性质2,内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 间的每一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系,都是同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 间的某一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系对某一个反演变换的反演像。

不过,只要同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 间共含 $$n$$ 个圆的Steiner 圆系可以利用直尺圆规作图,则内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 间共含 $$n$$ 个圆的 Steiner 圆系也都可以利用直尺圆规直接作图而不必使用反演变换。写成性质3。

性质3:若两内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 间有一组与它们相切且共含 $$n$$ 个圆的 Steiner圆系,而且 $$r_1>r_2$$,则过在圆 $$O_1(r_1)$$ 内部且在圆 $$O_2(r_2)$$ 外部的每一点,都可作出两组与它们相切的 Steiner 圆系,而且所作出的 Steiner 圆系也都恰含 $$n$$ 个圆。

过在圆 $$O_1(r_1)$$ 内部且在圆 $$O_2(r_2)$$ 外部的每一点,为什幺会有「两组」与它们相切的Steiner 圆系呢?这只要观察同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 就可理解了。

与同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 相切的任一组 Steiner 圆系中每个圆的圆心都在圆 $$O((s_1+s_2)/2)$$ 上,而且圆 $$O((s_1+s_2)/2)$$ 上的每个点都是某一组 Steiner 圆系中某个圆的圆心。

另一方面,设 $$s_1>s_2$$,与同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 相切的任一组 Steiner 圆系中每个圆的半径都等于 $$(s_1-s_2)/2$$,而对于在圆 $$O_1(r_1)$$ 内部且在圆 $$O_2(r_2)$$ 外部的每一点,圆 $$O((s_1+s_2)/2)$$ 上恰有两个点与该点的距离等于 $$(s_1-s_2)/2$$

下面是Steiner 圆系的一个有趣性质。

性质4:若 $$\{C_k\}_{k=1}^n$$ 是与内离圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 相切的一组Steiner 圆系,则

$$(1)$$  对每个 $$k$$,$$1\leq k\leq n$$,圆 $$C_k$$ 与两圆 $$O_1(r_1)$$、$$O_2(r_2)$$ 各有一切点,将此二切点连一直线,则所得的 $$n$$ 条直线共点。

$$(2)$$ 对每个 $$k$$,$$1\leq k\leq n$$,圆 $$C_k$$ 与圆 $$C_{k+1}$$ 外切,(设 $$C_{n+1}=C_1$$),过两圆 $$C_k$$ 与圆 $$C_{k+1}$$ 的切点作此二圆的公切线,则所得的 $$n$$ 条直线共点。

$$(3)$$ 前述 $$(1)$$ 中 $$n$$ 条直线所共的点与 $$(2)$$ 中 $$n$$ 条直线所共的点重合,而且此点 $$P$$ 在线段 $$\overline{O_1O_2}$$ 上并满足

$$\displaystyle\frac{\overline{O_1O}}{\overline{O_2O}}=\frac{r_1}{r_2}$$

关于性质4 的 $$(1)$$ 与 $$(2)$$,只要观察同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 就可理解了。此时,$$n$$ 条切点连线与 $$n$$ 条公切线所共的点就是同心圆 $$O(s_1)$$、$$O(s_2)$$ 的圆心 $$O$$。

Steiner 圆系知多少(On Steiner Chain

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